Position relative d'une droite et d'un plan

Propriété

Soit $d$ une droite de l'espace de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ .
Soit $P$ un plan de l'espace de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ .

La droite $d$ est parallèle au plan $P$  si et seulement si $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire  $\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0}}$ .

Remarque 1

Si $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux, alors la droite $d$ est soit strictement parallèle au plan $P$ , soit incluse dans le plan $P$ .

Remarque 2

Soit $d$ une droite de l'espace de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ .
Soit $P$ un plan de l'espace de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ .
La droite $d$ est sécante avec le plan $P$ si et seulement si   $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$  ne sont pas orthogonaux, c'est-à-dire  $\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}\ne 0}}$ .

Cas particulier

Soit $d$ une droite de l'espace de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ .
Soit $P$ un plan de l'espace de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ .
La droite $d$ est orthogonale au plan $P$ si et seulement si  $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$  sont colinéaires.